martes, 31 de mayo de 2011
miércoles, 16 de marzo de 2011
2.1 Definición de función.
Objetivo: Definir y comprender el concepto de función.
El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía, nacidas de los problemas de la tecnología y la navegación, habían proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento.
El nombre de “análisis infinitesimal” no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que enfatiza el método. Se trata del método matemático especial de los infinitésimos o, en su forma moderna, de los límites.
Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son: hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de “cálculo diferencial”. Ejemplos sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el área de una figura curvilínea (el problema de la cuadratura), o la distancia recorrida en un movimiento no uniforme, o, en general, el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el “cálculo integral”.
El problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, de la dependencia de una variable respecto de otra.
Función.
El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones.
Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes.
El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás. Fueron correspondencias de esta clase las que dieron origen al concepto de función.
Definición.
Una función es una regla que toma ciertos números como entradas y asigna a cada uno un número definitivo de salida. El conjunto de todos los números de entrada recibe el nombre de dominio de la función, el conjunto de los números de salidas resultantes se denomina contradominio.
Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un {uno sólo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ejemplo, una tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación.
Objetivo: Definir y comprender el concepto de función.
El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía, nacidas de los problemas de la tecnología y la navegación, habían proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento.
El nombre de “análisis infinitesimal” no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que enfatiza el método. Se trata del método matemático especial de los infinitésimos o, en su forma moderna, de los límites.
Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son: hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de “cálculo diferencial”. Ejemplos sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el área de una figura curvilínea (el problema de la cuadratura), o la distancia recorrida en un movimiento no uniforme, o, en general, el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el “cálculo integral”.
El problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, de la dependencia de una variable respecto de otra.
Función.
El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones.
Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes.
El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás. Fueron correspondencias de esta clase las que dieron origen al concepto de función.
Definición.
Una función es una regla que toma ciertos números como entradas y asigna a cada uno un número definitivo de salida. El conjunto de todos los números de entrada recibe el nombre de dominio de la función, el conjunto de los números de salidas resultantes se denomina contradominio.
Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un {uno sólo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ejemplo, una tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación.
Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: una función es una regla cualquiera que hace corresponder números a ciertos otros números, no necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica; ni tampoco necesariamente una regla a la que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función. El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función.
I.- Conteste las siguientes preguntas con base en la lectura “Definición de función”:
1. ¿Cuál es nombre moderno del análisis infinitesimal?
2. Escriba el nombre de los problemas que dieron origen al cálculo diferencia.
3. Escriba el nombre de los problemas que dieron origen al cálculo integral.
4. ¿Cuál es el problema del análisis?
5. En que se centra la mayoría de las ramas de la matemática moderna.
6. Defina “función”.
7. ¿Qué es el dominio de una función?
8. ¿Qué es el contradominio de una función?
9. ¿A qué le llamamos variable dependiente?
10. ¿A qué le llamamos variable independiente?
miércoles, 9 de febrero de 2011
Lectura “Los números reales”
Los números naturales son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. Inicialmente su representación fue hecha por medios de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIII, IIIIIII……..
Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente, intenta de esta manera representar el número 68. Esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII, I, I, II…..
Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números. El antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω
Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar más cerca del método de las marca. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar algunas cantidades (IIIII viene a ser V) e introducen la convención de que IV denota “una antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI…..
En nuestro sistema numérico también se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…..
Se puede argumentar, y con razón, que cualquiera de los sistemas anteriores es más razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En los primeros dos ejemplos la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestada al alfabeto.
Los números romanos se construyen de una forma muy natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como: V, X, L, C, D, M, etc., los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distinto símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo parece por completo ajeno y sin relación con el número que representa.
La primera ventaja considerable de nuestro sistema la encontramos cuando contamos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un número. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.
Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos (naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos.
La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.C. y siempre se les rechazó porque se pensaba que no correspondían a la solución de problemas prácticos. Fueron llamados “absurdos” por Diofano en el siglo III d.C., y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso del álgebra del siglo XIV; Cardano los llamo “ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de 2º grado, para Descartes eran “raíces falsas”.
Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; éstas las enunciaron de forma indirecta porque no usaban los signos + y -.
Los números racionales.- Un número racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo: 3, 1/2, 29/100, 2.157. Cuando se escriben en su forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en honor a su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros o con razones de números enteros. Por ejemplo, asociaron el 2 con el hombre, al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que en un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la razón 3 a 2, una quinta; y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías más agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física-matemática.
Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación:
c^2=1^2+1^2=2
Entonces descubrieron que c no puede ser un número racional. Esto causó una grave crisis en la filosofía griega de aquel momento.
Los números irracionales.- Como ya se dijo, si: c^2=1^2+1^2=2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser un número racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que poseen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: √2=1.41421356……,e ,π,etc.
Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en los cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico. Al conjunto de todos estos números se les conoce como los números reales. Extraido del libro matemáticas “cálculo diferencial” de Benjamín Garza Olvera y del libro Cálculo de Hipolito Orduño Vega
Cuestionario 2 relacionado con la lectura “Los números reales”
I.- Conteste las siguientes preguntas con base en la lectura “Los números reales”:
Menciona las características de los números naturales.
Menciona las características de los números romanas.
Menciona las características de los números enteros.
Menciona las características de los números racionales.
Menciona las características de los números irracionales.
Menciona las características de los números reales.
Los números naturales son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. Inicialmente su representación fue hecha por medios de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIII, IIIIIII……..
Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente, intenta de esta manera representar el número 68. Esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII, I, I, II…..
Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números. El antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω
Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar más cerca del método de las marca. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar algunas cantidades (IIIII viene a ser V) e introducen la convención de que IV denota “una antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI…..
En nuestro sistema numérico también se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…..
Se puede argumentar, y con razón, que cualquiera de los sistemas anteriores es más razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En los primeros dos ejemplos la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestada al alfabeto.
Los números romanos se construyen de una forma muy natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como: V, X, L, C, D, M, etc., los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distinto símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo parece por completo ajeno y sin relación con el número que representa.
La primera ventaja considerable de nuestro sistema la encontramos cuando contamos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un número. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.
Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos (naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos.
La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.C. y siempre se les rechazó porque se pensaba que no correspondían a la solución de problemas prácticos. Fueron llamados “absurdos” por Diofano en el siglo III d.C., y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso del álgebra del siglo XIV; Cardano los llamo “ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de 2º grado, para Descartes eran “raíces falsas”.
Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; éstas las enunciaron de forma indirecta porque no usaban los signos + y -.
Los números racionales.- Un número racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo: 3, 1/2, 29/100, 2.157. Cuando se escriben en su forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en honor a su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros o con razones de números enteros. Por ejemplo, asociaron el 2 con el hombre, al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que en un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la razón 3 a 2, una quinta; y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías más agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física-matemática.
Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación:
c^2=1^2+1^2=2
Entonces descubrieron que c no puede ser un número racional. Esto causó una grave crisis en la filosofía griega de aquel momento.
Los números irracionales.- Como ya se dijo, si: c^2=1^2+1^2=2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser un número racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que poseen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: √2=1.41421356……,e ,π,etc.
Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en los cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico. Al conjunto de todos estos números se les conoce como los números reales. Extraido del libro matemáticas “cálculo diferencial” de Benjamín Garza Olvera y del libro Cálculo de Hipolito Orduño Vega
Cuestionario 2 relacionado con la lectura “Los números reales”
I.- Conteste las siguientes preguntas con base en la lectura “Los números reales”:
Menciona las características de los números naturales.
Menciona las características de los números romanas.
Menciona las características de los números enteros.
Menciona las características de los números racionales.
Menciona las características de los números irracionales.
Menciona las características de los números reales.
Lectura “Antecedentes históricos”
¿Sabes cómo se originó el cálculo diferencial e integral?
Uno de los problemas que propició el cálculo diferencial fue dibujar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado. Los primeros intentos por resolverlo se remontan a la antigua Grecia (300ª.C.), en donde ilustres matemáticos como Euclides y Apolonio diseñaron métodos específicos para trazar las rectas tangentes a las cónicas (parábola, circunferencia, elipse e hipérbola).
Posteriormente, en el siglo XVII el francés René Descartes (1596-1650) creó un método para dibujar rectas tangentes, llamado Método de las Raíces Iguales, pero éste fallaba para curvas de tercer grado o mayor. Ese trabajo culmino en el mismo siglo cuando Pierre de Fermat, Gottfried Leibniz e Isaac Newton, apoyados en el conocimiento que generaciones anteriores habían realizado, desarrollaron un método para trazar rectas tangentes a la gráfica de cualquier función. Ese método junto con los conceptos que le sirven de sustento, como función, límite y derivada, constituyen lo que se conoce como calculo diferencial.
Una vez resuelto el problema de trazar rectas tangentes, se observó que estas ideas tenían múltiples aplicaciones en la resolución de problemas de diversas áreas del conocimiento; cuando esto se comprendió, ciencias como la matemática y la física se vieron fortalecidas, lo cual tuvo profundas repercusiones en el pensamiento científico y cultural de aquella época.
A la par del problema de trazar rectas tangentes, desde tiempos muy remotos la humanidad enfrentó el problema del cálculo de áreas por diversas razones. Por ejemplo, 3,000 antes de Cristo los egipcios y babilonios tuvieron que calcular áreas de superficies regulares al construir grandes edificios, pero también de figuras irregulares producto de inundaciones de áreas de riego por las grandes avenidas de los ríos.
En el siglo III a.C. los griegos crearon un método para medir superficies (conocido actualmente como método de exhaución o Método de agotamiento), que consiste en inscribir polígonos regulares en la superficie e ir aumentando el número de lados los polígonos hasta agotarla. Aunque era laborioso porque empleaba mucho tiempo y sólo garantizaba resultados aproximados, era el único recurso de la época.
Con la invención del cálculo diferencial en el siglo XVII grandes matemáticos como Newton, Leibniz y Barrow, encontraron una brillante relación entre la derivada (cálculo diferencial) y el cálculo del área bajo la gráfica de una función (la integral) que simplificó mucho los procesos para determinar la medida del área de figuras acotadas por curvas. Esta relación se describe en el teorema Fundamental del Cálculo.
A partir de ese momento, con el Teorema Fundamental del Cálculo fue posible solucionar problemas que parecían irresolubles, tales como problemas de movimientos de cuerpos, de electricidad, de magnetismo y de volúmenes. Los métodos, las técnicas y los conceptos, como la Integral, que le sirven de sustento, constituyen el cálculo integral y en la actualidad es una poderosa herramienta para resolver diversos problemas de la ciencia y la tecnología.
En esta breve descripción observa que la invención del cálculo diferencial y el cálculo integral fue producto de la necesidad de resolver problemas. Al decir de Morris Kline, en su obra Matemáticas, la pérdida de la certidumbre:
Para las generaciones pasadas las matemáticas eran, en primer lugar y por encima de todo, la creación más refinada del hombre para investigar la naturaleza. Los principales conceptos de la matemática, así como sus poderosos métodos y casi todos sus teoremas importantes se obtuvieron en el curso de esta investigación. La ciencia era la sangre y el alimento de las matemáticas. Los matemáticos eran buenos compañeros de los físicos, astrónomos, químicos e ingenieros en la empresa científica. Y muchos de los principales matemáticos trabajaron mucho más en astronomía, la mecánica, la hidrodinámica, la electricidad, el magnetismo y la elasticidad que en la matemática propiamente dicha. Extraido del libro matemáticas “cálculo diferencial” de Benjamín Garza Olvera y del libro "Cálculo" de Hipolito Orduño Vega
Cuestionario1 relacionado con la lectura “Antecedente históricos”
I.- conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Qué problema propicio el cálculo deferencial?
2. Nombre de ilustres matemáticos que métodos específicos para trazar las rectas tangentes a las cónicas (parábola, circunferencia, elipse e hipérbola).
3. ¿Cómo se nombro al método que creó René Descartes?, y ¿en qué fallaba dicho método?
4. Nombre a los personajes que constituyeron lo que se conoce como calculo diferencial y el método que sustenta el cálculo diferencial.
5. ¿Qué conceptos sustentan el cálculo diferencial?
6. ¿Por qué surge el cálculo diferencial e integral?
7. ¿Qué representaban las matemáticas para las generaciones pasadas?
8. Mencione los campos en los que los principales matemáticos trabajaron más que en las propias matemáticas
¿Sabes cómo se originó el cálculo diferencial e integral?
Uno de los problemas que propició el cálculo diferencial fue dibujar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado. Los primeros intentos por resolverlo se remontan a la antigua Grecia (300ª.C.), en donde ilustres matemáticos como Euclides y Apolonio diseñaron métodos específicos para trazar las rectas tangentes a las cónicas (parábola, circunferencia, elipse e hipérbola).
Posteriormente, en el siglo XVII el francés René Descartes (1596-1650) creó un método para dibujar rectas tangentes, llamado Método de las Raíces Iguales, pero éste fallaba para curvas de tercer grado o mayor. Ese trabajo culmino en el mismo siglo cuando Pierre de Fermat, Gottfried Leibniz e Isaac Newton, apoyados en el conocimiento que generaciones anteriores habían realizado, desarrollaron un método para trazar rectas tangentes a la gráfica de cualquier función. Ese método junto con los conceptos que le sirven de sustento, como función, límite y derivada, constituyen lo que se conoce como calculo diferencial.
Una vez resuelto el problema de trazar rectas tangentes, se observó que estas ideas tenían múltiples aplicaciones en la resolución de problemas de diversas áreas del conocimiento; cuando esto se comprendió, ciencias como la matemática y la física se vieron fortalecidas, lo cual tuvo profundas repercusiones en el pensamiento científico y cultural de aquella época.
A la par del problema de trazar rectas tangentes, desde tiempos muy remotos la humanidad enfrentó el problema del cálculo de áreas por diversas razones. Por ejemplo, 3,000 antes de Cristo los egipcios y babilonios tuvieron que calcular áreas de superficies regulares al construir grandes edificios, pero también de figuras irregulares producto de inundaciones de áreas de riego por las grandes avenidas de los ríos.
En el siglo III a.C. los griegos crearon un método para medir superficies (conocido actualmente como método de exhaución o Método de agotamiento), que consiste en inscribir polígonos regulares en la superficie e ir aumentando el número de lados los polígonos hasta agotarla. Aunque era laborioso porque empleaba mucho tiempo y sólo garantizaba resultados aproximados, era el único recurso de la época.
Con la invención del cálculo diferencial en el siglo XVII grandes matemáticos como Newton, Leibniz y Barrow, encontraron una brillante relación entre la derivada (cálculo diferencial) y el cálculo del área bajo la gráfica de una función (la integral) que simplificó mucho los procesos para determinar la medida del área de figuras acotadas por curvas. Esta relación se describe en el teorema Fundamental del Cálculo.
A partir de ese momento, con el Teorema Fundamental del Cálculo fue posible solucionar problemas que parecían irresolubles, tales como problemas de movimientos de cuerpos, de electricidad, de magnetismo y de volúmenes. Los métodos, las técnicas y los conceptos, como la Integral, que le sirven de sustento, constituyen el cálculo integral y en la actualidad es una poderosa herramienta para resolver diversos problemas de la ciencia y la tecnología.
En esta breve descripción observa que la invención del cálculo diferencial y el cálculo integral fue producto de la necesidad de resolver problemas. Al decir de Morris Kline, en su obra Matemáticas, la pérdida de la certidumbre:
Para las generaciones pasadas las matemáticas eran, en primer lugar y por encima de todo, la creación más refinada del hombre para investigar la naturaleza. Los principales conceptos de la matemática, así como sus poderosos métodos y casi todos sus teoremas importantes se obtuvieron en el curso de esta investigación. La ciencia era la sangre y el alimento de las matemáticas. Los matemáticos eran buenos compañeros de los físicos, astrónomos, químicos e ingenieros en la empresa científica. Y muchos de los principales matemáticos trabajaron mucho más en astronomía, la mecánica, la hidrodinámica, la electricidad, el magnetismo y la elasticidad que en la matemática propiamente dicha. Extraido del libro matemáticas “cálculo diferencial” de Benjamín Garza Olvera y del libro "Cálculo" de Hipolito Orduño Vega
Cuestionario1 relacionado con la lectura “Antecedente históricos”
I.- conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Qué problema propicio el cálculo deferencial?
2. Nombre de ilustres matemáticos que métodos específicos para trazar las rectas tangentes a las cónicas (parábola, circunferencia, elipse e hipérbola).
3. ¿Cómo se nombro al método que creó René Descartes?, y ¿en qué fallaba dicho método?
4. Nombre a los personajes que constituyeron lo que se conoce como calculo diferencial y el método que sustenta el cálculo diferencial.
5. ¿Qué conceptos sustentan el cálculo diferencial?
6. ¿Por qué surge el cálculo diferencial e integral?
7. ¿Qué representaban las matemáticas para las generaciones pasadas?
8. Mencione los campos en los que los principales matemáticos trabajaron más que en las propias matemáticas
martes, 15 de junio de 2010
martes, 8 de junio de 2010
¿El aprendizaje es algo tan trivial que se puede observar y medir con base en unas simples preguntas a propósito de unos contenidos cualesquiera?
El aprendizaje no debe ser concebido como algo trivial que se puede observar y medir con simples preguntas, como generalmente lo hacen los profesores al aplicar un único examen de pocas preguntas que valida el aprendizaje de una unidad completa, para que se pueda dar un aprendizaje significativo, los contenidos deberán abarcar situaciones reales que permitan crear cambios en los conocimientos de los alumno, interaccionando con el objeto de estudio modificando sus estructuras cognocitivas.
Las estrategias de enseñanza diseñadas por los profesores cobran gran relevancia, pues deben planificar los contenidos en saberes significativos: procedimentales, actitudinales y de conocimiento, de tal forma que sean útiles y aplicables a la vida real, deben ubicarlos en situaciones problemáticas reales de la vida diaria y, los profesores, deben estar ahí, para guiar y dar seguridad, evaluando cada parte de las actividades desarrolladas por ellos, para extraer la información suficiente y necesaria para, con base en ella, tomar desiciones sobre la estrategia a seguier durante el curso.
El aprendizaje no debe ser concebido como algo trivial que se puede observar y medir con simples preguntas, como generalmente lo hacen los profesores al aplicar un único examen de pocas preguntas que valida el aprendizaje de una unidad completa, para que se pueda dar un aprendizaje significativo, los contenidos deberán abarcar situaciones reales que permitan crear cambios en los conocimientos de los alumno, interaccionando con el objeto de estudio modificando sus estructuras cognocitivas.
Las estrategias de enseñanza diseñadas por los profesores cobran gran relevancia, pues deben planificar los contenidos en saberes significativos: procedimentales, actitudinales y de conocimiento, de tal forma que sean útiles y aplicables a la vida real, deben ubicarlos en situaciones problemáticas reales de la vida diaria y, los profesores, deben estar ahí, para guiar y dar seguridad, evaluando cada parte de las actividades desarrolladas por ellos, para extraer la información suficiente y necesaria para, con base en ella, tomar desiciones sobre la estrategia a seguier durante el curso.
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